ЕГЭ по информатике задание 18.Отрезки

ЕГЭ по информатике задание 18.Отрезки

Тема: «Логика и теория множеств»

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [37; 60] и Q = [40; 70]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула

​\( (x\in P) \to (((x\in Q) \land \neg ( x\in A))\to\neg ( x\in P)) \)​

РЕШЕНИЕ

Еще один вид задания  ЕГЭ по информатике задание 18

Для наглядности задачи ЕГЭ по информатике построим отрезки:

Введем обозначения:

\[ (x\in A) \equiv A; (x\in P) \equiv P; (x\in Q) \equiv Q \]

Перепишем формулу:

\[ (x\in P) \to (((x\in Q) \land \neg ( x\in A))\to\neg ( x\in P)) = P \to ((Q \land \neg A) \to \neg P) \]

Заменяем логическое следование на логическое умножение по формуле:

\[ A \to B = \neg A \vee B \]

\[ P \to ((Q \land \neg A) \to \neg P) = \neg P \vee ((Q \land \neg A) \to \neg P) = \neg P \vee \neg(Q \land \neg A) \vee \neg P = \]

\[ =\neg P \vee \neg Q \vee A \]

После упрощения формулы построим отрезки, исходя из преобразованной формулы :

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞, 40) и (60, ∞). Поскольку выражение ¬P ∨ ¬Q ∨ A должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [40, 60].

Остается посчитать длину отрезка A: 60 — 40 = 20

Еще один способ решения через таблицы истинности:

Как видно выражение ¬P ∨ ¬Q будет истинно в любом случае, кроме интервала [ 40;  60 ]. Истинность этого интервала зависит от отрезка А, т.к. выражение ¬P ˅ ¬Q ложно. Таким образом, область истинности выражения должна перекрывать отрезок [ 40 ; 60 ].  Наименьшая возможная длина отрезка А = 20.

Ответ: 20

P.S.Не забудьте подписаться на новости, чтобы ничего не пропустить:

[newsletter_signup_form id=1]